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Page 66

CAPÍTULO 2

DERIVADAS


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Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas

para que o lucro seja máximo.

O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação:

12q10q)q(Lucro
2

37125105)5(Lucro
2

Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000.

A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos).

EXEMPLO

Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa

que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será

retirado nos quatro cantos do papelão.





Formato para corte e dobradura do papelão



Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado

(120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por:

x14400x480x4)x2120(x)x(V
232

A sua primeira derivada é igual a:

14400x960x12)x(V
2

Igualando a zero:

014400x960x12
2



01200x80x
2

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CAPÍTULO 2

DERIVADAS


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Essa equação possui as seguintes raízes:

60x e 20x

Se 60x cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se

usarmos 20x cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume máximo

será:

2)x2120(x)x(V

000.128)202120(20)20(V
2 cm

3




SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X

As séries de potências são polinômios com infinitos termos que servem para descrever uma

função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento

computacional aproximado de funções.

Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a

forma de série de potências de x:


n

n
1n

1n
4

4
3

3
2

210 xaxa...xaxaxaxaa)x(f

É imediato saber que 0a)0(f .

Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos:


1n

n
3

4
2

3
1

21 xan...xa4xa3xa2a)x(f

Com 1a)0(f .

Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos:


2n

n
2

4
1

32 xa)1n(n...xa34xa23a12)x(f

Com 22 a!2a12)0(f .

Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos:


3n

n
1

43 xa)2n()1n(n...xa234a123)x(f

Com 33 a!3a123)0(f .

Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos:

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