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TitleElementos de Análise Real - Bartle
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Table of Contents
                            Sumário
Prefácio
Introdução - Um Esboço da Teoria dos Conjuntos
	1. A Álgebra dos Conjuntos
		Exercícios
	2. Funções
		Exercícios
	3. Conjuntos Finito e Infinito
		Exercícios
Capítulo 1 - Os Números Reais
	4. As Propriedades Algébricas de R
		Exercícios
	5. Propriedades de Ordem de R
		Exercícios
	6. A Propriedade de Completeza de R
		Exercícios
	7. Cortes, Intervalos e o Conjunto de Cantor
		Exercícios
Capítulo 2 - A Topologia dos Espaços Cartesianoa
	8. Espaços Vetoriais e Cartesianos
		Exercícios
	9. Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados
		Exercícios
	10. Celas Encaixantes e o Teorema de Bolzano-Weierstrass
		Exercícios
	11. O Teorema de Heine-Borel
		Exercícios
	12. Conjuntos Conexos
		Exercícios
	13. O Sistema de Números Complexos
		Exercícios
Capítulo 3 - Convergência
	14. Introdução às Sequências
		Exercícios
	15. Subsequências e Combinações
		Exercícios
	16. Dois Critérios para Convergência
		Exercícios
	17. Sequências de Funções
		Exercícios
	18. O Limite Superior
		Exercícios
	19. Outros Tópicos
		Exercícios
Capítulo 4 - Funções Contínuas
	20. Propriedades Locais das Funções Contínuas
		Exercícios
	21. Funções Lineares
		Exercícios
	22. Propriedades Globais das Funções Contínuas
		Exercícios
	23. Continuidade Uniforme e Pontos Fixos
		Exercícios
	24. Sequências de Funções Contínuas
		Exercícios
	25. Limites de Funções
		Exercícios
	26. Outros Resultados
		Exercícios
Capítulo 5 - Funções de uma Variável
	27. O Teorema do Valor Médio
		Exercícios
	28. Outras Aplicações do Teorema do Valor Médio
		Exercícios
	29. A Integral de Riemann-Stieltjes
		Exercícios
	30. 
Existência da Integral
		Exercícios
	31. Outras Propriedades da Integral
		Exercícios
	32. Integrais Impróprias e Infinitas
		Exercícios
	33. Convergência Uniforme e Integrais Infinitas
		Exercícios
Capítulo 6 - Séries Infinitas
	34. Convergência de Séries Infinitas
		Exercícios
	35. Testes de Convergência Absoluta
		Exercícios
	36. Outros Resultados sobre Séries
		Exercícios
	37. Séries de Funções
		Exercícios
	38. Séries de Fourier
		Exercícios
Capítulo 7 - Diferenciação em Rp
	39. A Derivada em Rp
		Exercícios
	40. A Regra da Cadeia e os Teoremas de Valor Médio
		Exercícios
	41. Teoremas de Aplicação e Funções Implícitas
		Exercícios
	42. Problemas de Extremo
		Exercícios
Capítulo 8 - Integração em Rp
	43. A Integral em Rp
		Exercícios
	44. Conteúdo e a Integral
		Exercícios
	45. Transformações de Conjuntos e Integrais
		Exercícios
Referências
Sugestões para Exercícios Selecionados
Índice Analítico
                        
Document Text Contents
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Demonstração. Seja g : J-+ R definida para x E J por

g(x) = l"' p(t) dt .
Como p(x) 2. O, vê-se que g é crescente, decorrendo do Teorema da Diferenciação, 30.7,
queg' =p. Pelo Teorema 29.8, concluímos que

e do Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.6, ínferimos que, para algum c em J,

f't dg =f( c) lb p. Q.E.D.
Como segunda aplicação do Teorema 29.8, reformularemos o Teorema 29.7, que

diz respeito à íntegração por partes, numa forma mais tradicional A prova fica a cargo do
leitor.

30.1 O Integração por Partes. Se f e g têm derivadas contz'nuas em [a, b ], então

tbfg'=f(b)g(b)-f(a)g(a)- r·f'g.

O resultado seguinte costuma também ser útiL
30.11 Segundo Teorema do Valor Médio. (a) Se f é crescente e g é continua em

J = [a, b ], então existe um ponto c em J tal que

(30.8) ·f't dg =f( a) r dg + f(b) Ib dg.
(b) Se f é crescente e h é contínua em J, então existe um ponto c em J tal que

(30.9) f'th = f(a) r h+ f(b) f' h.
(c) Se V' é não-negativa e crescente e h é contínua em J, então existe um ponto c

em J tal que

f' <Ph = q>(b) f' h.
Demonstração. As hipóteses, juntamente com o Teorema sobre Integrabílidade,

30.2, implicam que g é integráve1 em relação a/ em J. Além disso, pelo Primeiro Teorema
do Valor Médio, 30.6,

f' g df = g(c){f(b)- f( a)}.
Após utilizar o Teorema 29.7 relativo à integração por partes, concluímos que f é integrá·
vel em relação a g e

214

f' f dg "'"{f(b)g(b)- f(a)g(a)}- g(c){f(b)- f( a)}
= f(a){g(c)- g(a)} + f(b ){g(b)- g{c)}

= f(a) rdg +f(b) f'dg,

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Page 215

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o que estabelece a parte (a). Para demonstrar {b ), seja g definida em J por

g(x)= f\k ... J. '
de modo que g' =h, A conclusao decorre então da parte (a) utilizando-se o Teorema 29 .8.
Para demonstrar (c), definamos F, igual a '-P para x em (a, b] e F(a) = O. Aplicamos então
(b) a F. Q.E.D.

A parte (c) do Teorema precedente costuma chamar-se forma de Bonnet 7 do Segun-
do Teorema do Valor Médio. É evidente que existe resultado correspondente para o caso
de uma função decrescente (cf. Exercício 30.N).

MUDANÇA DE V ARIÃ VEL
Estabeleceremos agora um teorema que justifica a fórmula familiar para a "mudan-

ça de variável" numa integral de Riemann.
30.12 Teorema sobre Mudança de Variáveis. Seja c.p definida em um intervalo [a,{}]

e com valores em R, dotada de derivada contínua, e suponhamos a= I{)( a) e b ='-P(/3). Se f
é contznua no contradomfnio de c.p, então

(30.10) r· f(x) dx ~f~ f(<p(t))<p 1(t) dt.
Demonstração. Sejam I= '-P([rx, p]) e F definida por

F(D =.t~ f(x) dx para'~ E r

e consideremos a função H definida por H(t) = F(;p(t)) para ex< t < {l Notemos que
H(er.)=F((l)=O. Diferençando em relação ate usando o fato que F'=f(por quê?) ob·
temos

H'(t) = F'(<p(t))q/(t) ~ f('P(t))q/(t).

Aplicando agora o Teorema Fundamental para inferir que

f't(x) dx = F(b) = H({3) = J: f(q;(t))q/(t) dt. Q.E.D.
MODIFICAÇÃO DA INTEGRAL

O próximo resultado costuma ser útil na redução de uma integral de Riemann-
Stieltjes a uma integral de Riemann.

30.13 Teorema. Se g' existe e f e g' são R-integráveis em [a, b ], e,ntão f é integrável
no sentido de Riemann-Stieltjes em relação a g e

(30.11) r· r dg =r· fg'.
7 Ossian Bonnet 0819·1892) é conhecido principalmente por seus trabalhos em geometría dife·

rencial.

215

Page 428

.-···· limitada, 94
limite de uma, 94
de médias aritméticas, 126
monotônica, 104
não-limJ tada, 124
produto de, 93, 101
soma de, 93, 101

Séríe(s), 26 2 et seq.
abso!u ta mente convergente, 264
alternada, 280
condicionalmente convergente, 264
de co-senos, 329
dupla, 282 et seq.
de Fourier, 298 et seq.
de funções, 286 et seq.
geométrica, 264
harmônica, 265
hipergeométrica, 277
infinita, 262 et seq.
p, 265
de potências, 289 et seq.
reagrupamento de, 266 et seq.

Simples, raiz, 191
Sobrejeção, 30
Sobrejetiva, função, 30

aplicação, teorema da, 340
Sólido, de revolução, 404
Soma, de dois vetores, 59

de duas funcões, 59, 137
de duas seq ilências, 93

. I 1<=? parem. -v-
de Riemann, 197, 3 71
de Riemunn-S ti e! tje~, 197

Somabilidade
de Abel, 294
de Cesàro, 126, 306

Stíe!tjes, T. J ., 196
Stírling, L, 220

fórmula de, 220·221
Stone, M. H., 171

teorema da aproximação de, 171
Stone-Weierstrass, teorema de, 172
Subconjunto, 17
Subseqüência, 99
Supremo, 47

iterado, 51
norma do, 118
propriedade$ do, 49

T

Tangente, espaço, 3 23, 3 53
pbno, 316,3]3,353
reta, 3 23

Tauoor, A., 295
Teorema, 295

Taylor, B., 190
teorema de, 190,223,334

428

Tchebichev, P. L., 68
desigualdade de, 68

Teorema(s), da aplicação injetiva, 339
da a pro 1'imação de Bemstein, 161
de Bernstein, 293
de Bolza no-Weierstrass, 7 5, l07
da categoria, 83
de Cauchy-Hadamard, 290
do contorno círcunscrevente, 82
de função implícita, 344,354,355
fundamenta! da álgebra, 90
fundamental do c..{\culo íntegra!, 213
de Heine· Borel, 7 8
da inversão, para continuidade, 157, 2 24, 24 7,

287 .
para diferenciação, 189,225,248, 287,291
para integrais infinitas, 24 7 et seq.
para integração, 272 et seq ., 224 et seq .,

287 et seq ., 291, 384 et seq.
para seqüências, 157, 189, 272 et seq.,

250 et seq.
para séries, 287 et seq ., 291

Teste(s), de comp:u:ação, 240, 268
de convergência de séries, 268 et seq.
da derivada segunda, 357
da integral para séries, 273
da razão, 270

Tíetze, H., i 7 4
teorema da extensão de, 174

Topologia, 69, 77
Transformação, 27

de integrais, 215, 395 et seq.
Unea.r, 2 34

Tran:>IJ.H;áo, de um conjunto, 83
Triângu.!o. desigualdade do, 46, 63
Trícotomia, propriedade da, 43

u
União de conjuntos, 18
Unícídat!e, teorema da, para séries de potências,

292

v
Valor absoluto, de uma função, l38

de um número complexo, 90
de um número real, 45

Valor de uma função, 25
Valor ínterm~diário. teorema do, 147
Valor médio, teorema(s) do,

para derivadas em R, 183 et seq.
para derivadas em RP, 328 et seq.
para integrais em R, 2.12, 213+2i4
para integrais em RP, 383

Vetor, componentes de um, 63
Vetore~ ortogonais, 65
Vínculo, 359
Vizinha n\ia, 70

Page 429

w

Wallis, J ., 220
produto de, 220

Weierstrass, K., 7 5
teorema da aproximação de, 163,173, 307

Teste-M, para integrais infinitas, 245
para séries, 288

z ....
Zero, conteúdo, 369

medida, 376

429

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