Download Fungsi Gamma Dan Beta PDF

TitleFungsi Gamma Dan Beta
File Size553.5 KB
Total Pages8
Document Text Contents
Page 2

Fungsi Gamma dan Beta



A. Fungsi Gamma

1. Definisi Fungsi Gamma



Secara umum fungsi gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar dengan

bentuk umum sebagai berikut.

( ) ∫






( )











2. Sifat-sifat Fungsi Gamma



Berikut adalah sifat-sifat yang dimiliki fungsi gamma:

a) ( ) ( ) ( )

Bukti

( ) ∫





Dengan menggunakan integral parsial, maka :

( )


[ ∫ ( )




]





( ) ( )∫





( )[ ( )]

( ) ( ) ( )



b) ( ) ( )

Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama pada sifat (a), yaitu:

( )












* ∫ ( )



+




[ ] ∫

Page 3

( ) → ( ) ( )

c) ( )

Bukti

( )












[ ( ) ∫



]




( )





[ ]




( )





( )





d) ( )
( )




Sifat ini diperoleh dari manipulasi sifat (b) dan berlaku untuk x ≠ 0, -1 < x < 0.

Hal ini menunjukkan bahwa untuk x < 0, Г(x) juga mempunyai nilai. Kejadian ini

akan dibahas pada mata kuliah yang lebih lanjut.



e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



Bukti



Berdasarkan sifat (b) => ( ) ( )



Karena ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( )

( ) ( ) dan seterusnya sampai ( ( )) ( ) ( )

yang diperoleh melalui reduksi sifat (b), maka :



( ) ( ) ( ) ( ) ( )





f) ( )

Sifat tersebut merupakan ciri utama dari fungsi gamma. Jelas bahwa sifat

tersebut merupakan hasil reduksi dari sifat (e).

Jika dipilih



maka,

Page 5

Karena










( )( ) ( )





(




)


(



)


(




)

( )( )( )( ) ( )





Karena


( )( ) ( )


, maka






[


( )( ) ( )
]







( )( ) ( )





( )



Jadi, ( )


( )



3. Contoh Soal



Tentukan nilai dari


( )

( )


 ∫





 ∫





Jawab


( )

( )











 ∫












Jadi,







( )



 ∫










Misal,

Page 6







∫ (



)


(



)











∫ ∫


























( )
















B. Fungsi Beta

1. Definisi Fungsi Beta



Fungsi Beta sering disimbolkan dengan β(x,y). Bentuk umum fungsi beta adalah

( ) ∫ ( )






dimana ( ) konvergen untuk



2. Sifat Fungsi Beta



Sifat fungsi beta adalah simetris, yaitu:

( ) ( )

Bukti

( ) ∫ ( )






Dengan menggunakan transformasi , maka diperoleh :

( ) ∫( ) ( )






∫ ( )





( ) ( )

Similer Documents